中外科学家发明家丛书:希尔伯特 (四)
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中外科学家发明家丛书:希尔伯特 (四) 发布于:2012/12/16
    四、果尔丹问题
      希尔伯特果断地决定,作为一名讲师,他所选择的课目除了教育学生, 也要教育自己。跟许多讲师不同,他还决定不教重复的课,同时,在每天去 苹果林散步的那段时间,他和赫维茨为他们自己确立了一个目标:“系统地 勘查”数学。
      第一学期,只有选听他的不变量理论课的学生的数目达到了学校规定的 开课标准。第二学期,他讲授了第一学期想开设而没能开的课:行列式论和流体动力学。
      1888年3月,他感到万事俱备,可以进行他期待已久的旅行了。他选好 了旅行路线,使他能顺路访问21位杰出的数学家,其中有果尔丹、克莱因、 许瓦尔茨、富克斯、赫尔姆霍斯、克隆尼克等。当然,他首先要去拜会的是 埃尔兰根的“不变量之王”——果尔丹。
      一段时期以来,希尔伯特已经熟悉了果尔丹问题;现在,他终于听到了 果尔丹本人的讲述。他似乎体验到了一种过去从未有过的新境界。这个问题 唤起了他那几乎无法思议的完美想象力。
      正如希尔伯特本人后来所列举的那样,一个重大的富有成效的数学问题 应具备下述的每一个特点:
      清晰性和易懂性 (“因为清楚、易于理解的问题能吸引人的兴趣。而复 杂的问题使人望而却步”);
      困难的(“这才能引诱我们去搞它”)而又不是完全无从下手解决的(“免 得我们劳而无功”);
      意义重大 (“在通向那隐藏着的真理的曲折路径上,它是一盏指路明 灯”)。
      果尔丹问题使他像着魔一般怎么也放不下手。在旅行访问结束之后,希 尔伯特回到了哥尼斯堡,但他的思想却终日沉浸在这一问题中,甚至在他喜 爱的舞会上也没有停止思考它。
      9月6日,希尔伯特给哥廷根科学会的《通讯》寄去了一份短短的注记。 在这篇注记中,他完全出人意料地开辟出一条全新的路径,表明如何用统一 的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。这个轰动世间的关于不 变量系有限基存在性的证明,其基础是一条引理,即关于“模”的有限基的 存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。 这条引理如此简单,看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直 接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子。
      即使完成了1890年的那些工作,果尔丹问题仍萦绕在他的心中。作为一 名数学家,比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。在其后的两 年间,他的工作开始发生了变化。代数构成的思想浇灌了他的心田。突然, 在1892年,希尔伯特用他的结果结束了一直被人们讨论不休的不变量理论, 整个理论的呼吸随之停止了。
      随着希尔伯特超凡脱俗地拨开了果尔丹问题的迷雾,他开始认识了自 己,也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题,这个问题的解决,其 意义将远远超出问题本身。可是,正当大家期望希尔伯特能来重整果尔丹这 个学术领域,从而使它摆脱一筹莫展的局面时,却出现了人们无论如何意想 不到的情况:希尔伯特不愿再为承担上述工作而花费时日了。最初引起他兴 趣的问题被解决了,就意味着他自由了。他将坚决地离开它,迎着更深奥的 课程前进。
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