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| 中外科学家发明家丛书：欧拉 （四） | 发布于:2012/11/10 | |
| 一天，吃完午饭，欧拉点燃烟斗，拿起刚刚送到的信件阅读起来。从欧 洲各地向他求教的来信每天都有一大堆。今天有一封从柯尼斯堡的来信引起 了欧拉的特别兴趣。偏僻的东普鲁士的柯尼斯堡坐落在美丽的普雷格尔河 畔，河上旖旎的风光吸引了小镇的居民来这里散步、休息、野餐、垂钓。普 雷格尔河上有两座小岛，从河的两岸分别有三座桥和它们相连，同时又有一 座小桥把两个小岛连接起来。时间一久，有位爱思考的居民提出来一个有趣 的问题：一个散步的人能不能一次走七座桥，而且每座桥只能走一次？这个 问题谁也回答不了。有人说可以，可是走来走去，始终没能完成；有人说不 行，可惜又说不出令人信服的理由。这个不大不小的问题竟然一下子难住了 全镇的居民和外地游客。于是，一位小学教师写信向大名鼎鼎的欧拉求教。 欧拉是位出了名的“好好先生”，连中小学生有解不出的“难题”来求 教，他也总能使他们如愿以偿。只要需要，无论是多么平凡、琐碎的事情， 他也总会不假思索地去尽力完成。他从来不去考虑这些“杂事”是否会影响 自己的研究，降低自己的身份。其实，欧拉不仅仅是把它们当作自己应尽的 责任，他对这些问题也确实怀有浓厚的兴趣。像柯尼斯堡七桥这类问题在数 学史上还从来没有人处理过。它显然不是我们所熟悉的代数问题，因为它并 不是研究数量的大小。它和平面几何也不相同，平面几何里的图形不是直线 就是圆，是讨论它们角度的大小或线段的长短。可是在柯尼斯堡七桥的问题 中，桥的准确位置无关紧要，陆地的大小和形状也不需要考虑，重要的是考 虑一共有几块陆地、几座桥以及它们的连接情况如何。根据这个特点，欧拉 经过认真的思考，先把柯尼斯堡七桥画成一个线条图（见图1—2），在他的 图形里，小岛和河岸都演变成了点，桥则成了边接这些点的线。这样，问题 就被简化成为：从图上某一点开始，中间任何一条线不得重复画两遍，铅笔 不准离开纸面，能不能把这张图一笔画出来？经过一番思索，欧拉终于找到 了一个彻底而漂亮的答案。说它彻底，因为它给出了能否一笔画出“河—桥” 图的明确条件；说它漂亮，因为它的条件非常简单，对于任何一张“河—桥” 图，只要很短的一两分钟就可以作出准确的判断。 柯尼斯堡七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足，而对于欧拉来 说，这仅仅是个良好的开端。发现一块矿石可能意味着藏有巨大的宝藏。经 过精心的开掘，欧拉果然发现了一个只需要考虑位置的关系和性质的全新的 数学领域——拓扑学 （拓扑学是研究图形在双方单值连续变换下不变性质的 几何学），建立起了网络的概念并推导出拓扑学中非常有价值的重要关系式。 拓扑学在近代有了重大发展，它已经渗透到数学的各个分支，获得了非常广 泛的应用。比如，安排运输路线或邮递路线就需要考虑这样的问题：如何把 货物或邮件送到指定的地点而又不走回头路。 不嫌弃平凡的工作，并且善于从平凡的工作中发现不平凡的内容，正是 欧拉难能可贵的优秀品质。在欧拉琳琅满目、美不胜收的创作宝库里，珍藏 着他为柯尼斯堡七桥、国际象棋中骑士的跳步等一类数学游戏所写的大量光 彩照人的作品。 正当这位从巴塞尔城来的年轻数学家以神话般的速度在数学的各个领域 里一篇接一篇地发表他的独具匠心的论文的时候，欧拉遇到了他一生中又一 次重大的挫折：他的右眼突然失明了。 当时，欧拉正决心赢得一项关于天文学问题的巴黎大奖。天文学中彗星 轨道的计算历来是数理天文学中的一个大难题，因为它牵涉到两个或两个以 上的星体之间的关系。没有计算机的帮助，要想得到比较精确的结果，即使 是一位极具才能的数学家，一般也要花好几个月的辛勤劳动。为了吸引更多 科学家们的兴趣，1739年，法国巴黎科学院特别为这一课题设置了巨额奖 金，征求解答。欧拉决定在这个领域中施展一下他超群的计算才能。他对通 常采用的方法进行了一系列重大的改进。尽管这样，计算仍是十分困难。可 是一旦开始工作，让欧拉中途停下来是不可能的。他在书房之中着迷似地干 了起来。饿了就啃几口面包，困了就靠在椅背上迷糊一会儿。凯塞琳娜看着 丈夫这样不顾一切地工作，只有干着急，爱莫能助。虽说进展神速，但等他 计算出彗星的运行轨道的时候，时光已经不知不觉地过去了3天。晨曦透过 窗帘悄悄报告着新的工作日的来临。欧拉的眼睛里布满了血丝，头昏沉沉的， 身体疲惫不堪。他轻轻阖上刚刚写好的论文，随手推开窗户，张开双臂伸了 个懒腰。突然，欧拉的眼前一片发黑，他一头栽倒在地！他在床上整整躺了 一个星期。病后，他的右眼完全失明了。 欧拉作为计算方法的大师，无疑从来没有人超过他，甚至连比较接近他 的人也不容易找到，或许雅可比应该除外。算法专家就是为解决特殊类型的 问题而设计计算方法的数学家。举一个很简单的例子，我们假设（或证明） 每一个正实数都有一个真正的平方根，如何去计算这个根呢？有许多已知的 方法可以计算，而算法专家则设计实际可行的方法。再举一个例子，在丢番 图分析，也在积分学当中，一个问题的解答可能不是现成的，要用其它变量 的函数关系做一些巧妙的（通常是简单的）代换，一个算法专家就是能自然 地想到这种代换的数学家。想出代换的过程没有统一的方法——算法专家就 像机敏的打油诗人一样，是天生的，而不是造就的。 看不起“纯粹的”算法专家的情况在今天是很流行的，然而，当一个像 印度的罗摩拏阇那样的真正的数学家从不知道的什么地方突然冒出来的时 候，就连分析专家们也都会把他当作从天而降的天才而向他欢呼：对于表面 上无关的各种公式，他那几乎是以超自然洞察力揭示了从一个领域通向另一 个领域的隐秘的线索，这就为分析学者们提供了弄清这个线索的新任务。一个算法专家其实是一个“形式主义者”，他为这些公式的美丽而热爱这些美 丽的公式。欧拉就是其中的佼佼者。 应该提到的是，现代考证已经表明，天文学的问题无论如何对欧拉眼睛 的失明没有太大的责任。这种考证在使数学史上所有的奇闻轶事遭到怀疑方 面起了很大的作用。但是富有学究气的批评家们 （或者任何其他的人）怎么 会知道这么多关于所谓的因果关系的东西呢？这个秘密恐怕需要大卫·休谟 （欧拉的同代人）的在天之灵去解决了。尽管有这样的一个告诫，我们还是 再讲述一个欧拉与无神论的 （或许只是泛神论的）法国哲学家德尼·狄德罗 （1713～1784）的著名故事给我们的读者听。这里我们稍稍偏离了编年史的 顺序，因为这件事发生在欧拉第二次留居彼得堡期间。 那一次，叶卡捷娜女皇邀请狄德罗访问她的宫廷，狄德罗试图通过使朝 臣们改信无神论来证明他确实是值得被邀请的。他喋喋不休的高谈阔论令女 皇厌烦了，她命令欧拉去让这个只会空谈的哲学家闭上他的嘴巴。这很容易 办到，因为狄德罗对数学一无所知。德·摩根在他的经典著作《悖论汇编》 （1872年出版）中详细叙述了事情的经过： 狄德罗被告知，一个很有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是 他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地 同意了。……欧拉站起来朝狄德罗走去，他用一种非常肯定的语调一本正经 地说:a |
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