Catalan猜想
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Catalan猜想 发布于:2015/11/13
    1842年,比利时数学家卡塔朗(E.C.Catalan)提出问题,后人称之为卡塔朗猜想:所有两个连续整数中是否只有8(=23)和9(=32)是两个非零整数的“纯”整数幂?换言之,丢番图方程xp-yq=1(p,q>1)是否只有正整数解(x,y,q)=(3,2,3)?这个问题(按肯定形式的提法)就是数论中著名的卡塔朗猜想。其后人们对此问题进行了长期研究,伴随产生一些有关(类似的)猜想(例如,其中变量的取值范围适当扩大),得到一些阶段性成果(主要是对于方程的特殊情形的探讨),催生了多种数论技巧。直到2002年,罗马尼亚籍的瑞士数学家P.Mihailescu才肯定地解决了这个猜想,距问题的提出恰好整整160年。本书是关于这个问题的最新专著。作者是三位法国数论学家,长期研究丢番图方程,其中第一作者是Mihailescu工作的主要审查人,曾两次发表论文阐述Mihailescu证明的思路和方法。
  全书由13章和6个附录组成。正文按内容可划分为4部分。第1部分 含第1章:1.是引言,简要地给出研究该问题的发展史,重要的阶段性结果和方法(解析方法和代数方法),以及1999-2002期间Mihailescu解决猜想问题的过程。第2部分(第4,5,7,10,12章)论述分圆域的一般理论,给出解决卡塔朗猜想问题的基本代数工具。其中第4,5,7,10章分别给出分圆域理论的基本概念,L级数和类数公式,高斯和以及经典的Stickelberger 定理,分圆单位;第12章证明了Thaine 定理,它与Stickelberger 定理一起给出了分圆域的类群的零化子,在Mihailescu的证明中起着重要作用。第3部分(第2,3,6,8,9,11章)完整系统地给出Mihailescu的证明,其中第2,3,6章包含历史上关于卡塔朗猜想的一些研究成果,主要是Cassel的整除性定理和关系式,还有勒贝克、柯召等的方程特殊情形的解等,其中有些结果被应用于Mihailescu的证明中;第8,9,11章给出了Mihailescu的证明,特别包含了对证明思路和关键点的分析和论述。第4部分(第13章)简要地讨论了解析方法,即Baker对数线性形的应用和Tijdeman的工作。虽然解析方法并未最终解决问题,但仍不失为一个重要的数论方法,并且在Mihailescu的最初给出的证明中,曾应用了由此方法得到的某些估值。6个附录提供了本书正文用到的关于代数和代数数论的知识(包括证明)。
  与目前出版的关于卡塔朗问题的其他3本专著比较,本书一个显著特点是:内容全面,论述细致。例如包含了Mihailescu最初的证明(应用了对数线性形和计算机的辅助),以及最后的纯代数证明,并且阐述了如何避免对数线性形和计算机辅助。另一亮点是取材做到自给自足,包含了所有需要的数学工具知识,只要求读者具备大学基础代数知识。因此本书不仅可供数论研究人员参考,也可作为数论等专业研究生和大学高年级学生的读物。
  朱尧辰,研究员
  (中国科学院应用数学研究所)
  Zhu Yaochen,Professor
  (Institute of Applied Mathematics,CAS)国外科技新书评介2015年第9期(总第341期)物理学物理学国外科技新书评介2015年第9期(总第341期)Dimitris A.Papaconstantopoulos
  Handbook of the Band
  Structure of Elemental Solids
  Dimitris A.Papaconstantopoulos
  2015
  http://link.springer.com/book/
  10.1007/978-1-4419-8264-3
  E-ISBN9781441982643
  P-ISBN9781441982636  来源:国外科技新书评介
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