中外科学家发明家丛书:李善兰 (五)
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中外科学家发明家丛书:李善兰 (五) 发布于:2015/09/29
    官兵畏死作鼠窜,百姓号哭声如雷。      夷人好杀攻用火,飞炮轰击千家灰。”
      “饱掠十日扬帆去,满城尸骨如山堆,
      朝廷养兵本卫民,临敌不战为何哉?”
      表达了他对侵略者的刻骨仇恨,对老百姓的深切同情,也表达了他对清 政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。
      1845年前后,李善兰在嘉兴陆费设馆授徒,得以与江浙一带以数学家为 主的学者顾观光(1799—1862)、张文虎(1808—1885)、汪曰桢(1813— 1881)等人相识,他们经常在一起讨论数学问题。此间,李善兰有关于“尖 锥术”的著作 《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。      19世纪40年代,在近代数学尚未自西方传入中国的条件下,李善兰异 军突起,独辟蹊径,通过自己的刻苦钻研,从中国传统数学中垛积术和极限 方法的基础上出发,大胆创新,发明尖锥术,具有解析几何的启蒙思想,得 出了一些重要的积分公式,创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角函 数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19世纪中国数 学界最重大的成就。
      李善兰认为:
       “元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥;
       “平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥;
       “立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥;
       “三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥,……
       “从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。”
      因此,“诸乘方皆有尖锥”,
       “三乘以上尖锥之底皆方,惟上四面不作平体,而成凹形。乘愈多,则 凹愈甚”(图1)。       “尖锥之算法”乃是
       “以高乘底为实,本乘方数加1为法,除之得尖锥积”。
      又,“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”,
       “诸尖锥既为平面,则可变为一尖锥”。
                                         n
      这样,对于一切自然数n,乘方数X都可用线段长表示,它们可以积迭 成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线,高线和凹向的尖锥曲线组成。 乘数愈多(即幂次愈高),尖锥曲线其凹愈甚(图2)。                                    2 -8 2
              -8
      在《方圆阐幽》中,李善兰取X=10及X=2×10,用“分离元数法” 归纳得二项平方根展开式
                2
       ∞ (2n
其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。
      在《对数探源》中,李善兰列出了十道命题,从各个方面描述对数合尖 锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积,此残积之高与彼残积之高,彼截线 与此截线可相为比例。”(图5)
      即是说xy=xy,或xy=c(这里c=bh为常量)。然后,根据这些性质
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