中外科学家发明家丛书:伽罗瓦 (十六)
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中外科学家发明家丛书:伽罗瓦 (十六) 发布于:2014/09/20
    1        2      将P(y)的各因子乘出来,就得到一个Y的多项式。假设P(y)在某一 数域中分解因数,包含v而在此数域中为不可约的部分是(Y-v)(Y- v)                         1                                       1          2 或 Y-(v+v)Y+vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v,v互相      2     1  2         12                            12          1  2 交换的x的置换成一群,这个群叫“方程式在这数域中的群”。      一般地说,一个方程式在一定数域中的群是由P(Y)中包含v的不可约                                                                   1 部分而决定的。将这个不可约部分记作G(y),则G(y)=0,这称为“伽 罗瓦分解式”。      在一个数域中将一个式子分解因数,到了不能再分解时,若将数域扩大, 可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。      明白什么是方程式在一个数域中的群,就可以去求它。例如二次方程式      X+3X+1= 0       2      有两个根x,x,可能的置换只有1和 (1 )两种。所以2           它的群或者                 1  2 含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。      以函数x-x为例,二次方程式              1  2       2      x+bx+c= 0      的两根之差是      x  - x = b2 - 4c       1   2      在此例中,规定b=3,c=1,则      x -x  = 5       1    2      如果所讨论的数域是有理数域,那么,这个函数的值不在数域中,所以 群中必有一个置换能变更此函数的值,这就是( 1 )置换。则此方程式在2 有理数域中的群是由      1,( 1 )2      两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域,那么,在此数域中,所 以群中一切置换都不改变函数x-x的值,所以(1 )不能在群中。此方2                                  1 2 程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。      5.伽罗瓦的鉴定      伽罗瓦证明了:一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可 解群”,则此方程式是可能用根式解的,而且仅在这样的条件下方程式才能 用根式解。      以一般二次方程        2      ax+ bx+c=0      为例,它的两个根是x,x。它在一个含有它的系数的数域中的群之元                            1  2 素是1和 (1 )。这个群的唯一的极大不变真约群是2          1,则此群的组合因 数是:  /21= 2,这是一个质数,因此,根据枷罗瓦的鉴定,凡二次方程 式都是可用根式解的。  
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