中外科学家发明家丛书:伽罗瓦 (十四)
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中外科学家发明家丛书:伽罗瓦 (十四) 发布于:2014/09/18
    正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来,并为实现它们而奋斗, 所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说,伽罗瓦短暂的一生 是伟大的。
                             三、伽罗瓦与群论
      群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了,而其理论的应用、 发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的 内容,建立起群论学并加以完善,从而改变了19世纪初叶,数学科学发展的 停滞状况,开创了新的繁荣时期。所以说,伽罗瓦对科学的重大贡献就在于 他对群论的贡献。因此,要了解伽罗瓦,就必须了解群论。
      1.群的重要
      解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分 类。
      一次方程式ax+b=0的解答很容易得出,是
      x=-b/a      二次方程式
        2      ax+bx+c=0的解是
      x=(- b± b2       -4ac )/2a
      但是,三次方程式
        3     2      ax+bx+cx+d=0
      和四次方程式
        4     3    2      ax+ bx+cx+ dx+e= 0      的解法就比解一次、二次方程式难得多了,直到16世纪才有了解法。
      当方程式的次数增大时,解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会 解高于四次的方程式,却都相信一定是能办到的。直到19世纪,利用群论的 道理,才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加 的限制条件而定。譬如
      x+5=3      如果允许x为负数的话,此方程可解;若限定x不能是负数,则此方程 式就不能解了。同样,假如x表示饼数,方程式
    2x+3=10                                                                      1      是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了,因为 x =3       (人)                                                                      2 没有意义。
     再如,一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对 它进行分解。如      2     x+1     在实数域中是不可分解的,可是在复数域却是可分的,因为      2     x+1=(x+i)(x-i),
      其中i=
     例如:
      在 (a)中,主元素是0,因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。      在 (b)中,主元素是1,因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。
      在 (c)中,主元素是那个将x代作x,x代作x,x代作x的置换,                                    1       1  2        2  3        3 因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
      在(d)中,主元素是那个360°的旋转,因为系统中的任意一个旋转和 此旋转结合的结果仍为自身。
       (3)每个元素必须有一个逆元素,即一个元素和其逆元素用系统中的运 算结合的结果是主元素。
      例如:
      在 (a)中,3的逆元素是-3,因为3加-3的和是0。
      在 (b)中,a/b的逆元素是b/a,因为a/b和b/a相乘的积是1。      在(C)中,将x代作x,x代作x,x代作x的置换的逆元素是将x                      1       2  2       3  3        1                       2 代作x,x代作x,x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将       1 3         2  1       3 x代作x,x代作x,x代作x的置换。  2       2  3        3  1        1      在 (d)中,60°的旋转(按顺时针方向)的逆元素是一个-60°的旋转  (按逆时针方向)。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
       (4)结合律必须成立。
      例如,设a,b,c是任意三个元素,又设运算用记号O表示,则结合律 指       (aOb)Oc=aO(bOc)      应用到系统 (a)中,为
       (3+4)+ 5=3+(4+ 5)      所以结合律在 (a)中能成立。      对于一个系统,它是否成群,不但要看它的元素,还要看它的运算才能 决定。      3.群的重要性质      伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。      在表示置换时,为了方便起见而采取一种简单的记法,即在记x,x,                                                                      1  2 x时可将x省去,只用1,2,3来表示。例如一个将x代作x,x代作x,  3                                                     1       2  2        3 x代作x的置换,可以简单的记作( 1 2 3)  3       1      这个记号的意思是说:      1变作2,2变作3,3变作1。      换句话说,就是      x变作x,x变作x,x变作x。       1      2  2        3  3        1      同样,(1 3 2)则表示一个将x变作x,x变作x,x变作x的置换。                                     1       3  3        2  2       1 又如       (1 3)(2)或(1 3)      表示一个将x代作x,x代作x,x代作x的置换。                   1       3  3        1  2       2      有时一个群的部分元素自己形成一群,这种群称为“约群”。例如,前 面(a)例中,一切整数对于加法而言,为一群。若单拿一切偶数来看,对于 加法,他们也成一群;因为群的四个性质它都适合:
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