“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，这就是人们通常所说的勾股定理，它是初等几何学中的一个基本定理，有着十分悠久的历史，可说几乎所有的文明古国，不论是古希腊、埃及、巴比伦、印度还是中国，对此定理都有研究。
西方一般将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。相传公元前550年，毕达哥拉斯发现了这一定理，并给出了证明。可惜的是，他的证明方法已散失，现知最早的证明方法出自欧几里德的巨著《几何原理》。
相比于公元前550年的毕达哥拉斯，中国人早就发现了勾股定理。据成书于公元前1世纪的中国第一部数学著作《周髀算经》记载，早在大禹冶水时期，中国就发现了勾股定理的特例“勾三股四弦五”了。
《周髀算经》的开头有这样一则趣闻：
周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下 者，此数之所由生也。”
简单概述如下：
周公问商高：“我听说商大夫您对数学非常精通，想请教古代度量天地的方法：天没有梯子可以登上去，地也没法用尺子去丈量，如何才能得到关于天地的准确数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于人们对方和圆这些形体的认识。圆形出自于方形，方形又属于矩形，矩形出自九九八十一种变法，如果直角三角形的勾边为3，股边为4，那么斜边一定就是5。这个道理在大禹冶水时就总结出来了，这也就是数的由来。”
大禹冶水是否已总结了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例，没有史料考证，但这段文字至少说明，我国古代的人民至少在西周初年就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。正因如此，我国也将勾股定理称为商高定理。
如果说我国古代人民发现“勾三股四弦五”还只是勾股定理的一个特例，不具有代表性的话，那么到公元1世纪时，勾股定理的一般形式已被发现。据成书于东汉初年的《九章算术》一书的《勾股章》记载：勾的自乘加上股的自乘，它们的和进行开平方，就可以得到弦。用数学表达为：
弦=√勾2+股2
即：c=√a2+b2
中国古代的数学家们并不满足发现并应用勾股定理，他们很早就在尝试对这一定理 证明。最早做出合理证明的是三国时东吴人赵爽。他创制了一幅“勾股圆方图”（见右下图），用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三 角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得：a2+b2=c2
亦即：c=√a2+b2
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意 义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是 形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”